українська
Анотація:Книга присвячена характеризації імовірнісних розподілів. Добре відомо, що сума й різниця незалежних гаусовських випадкових величин, що мають однакові дисперсії, також незалежні. Зворотне твердження було доведене незалежно М. Кацом і С. Н. Бернштейном. Цей результат є яскравим прикладом характеризаційної теореми. Загалом кажучи, характеризаційними завданнями в математичній статистиці називають твердження, у яких опис можливих розподілів випадкових величин випливає із властивостей деяких функцій від цих величин. В останні роки велика увага була зосереджена на узагальненні класичних характеризаційних теорем на випадкові величини зі значеннями в різних алгебраїчних структурах, таких як локально компактні абелеві групи, групи Лі, квантові групи, симетричні простори. Монографія присвячена узагальненням деяких добре відомих характеризаційних теорем за припущенням, що незалежні випадкові величини приймають значення в локально компактній абелевій групі X. Основна увага приділяється характеризації гаусовського та ідемпотентного розподілів (групові аналоги теорем Каца-Бернштейна, Скитовича-Дармуа й Хейде). Рішення відповідних характеризаційних завдань зводиться до рішення деяких функціональних рівнянь у класах безперервних позитивно певних функцій на групі характерів групи X. Вивчаються також групові аналоги теорем Крамера й Марцинкевича.
Читацька аудиторія:Книга розрахована на математиків, фахівців в області теорії ймовірностей на алгебраїчних структурах, абстрактного гармонійного аналізу й функціональних рівнянь. Вона може бути також корисною аспірантам і студентам старших курсів.
англійська
Анотація:This book deals with the characterization of probability distributions. It is well known that both the sum and the difference of two Gaussian independent random variables with equal variance are independent as well. The converse statement was proved independently by M. Kac and S. N. Bernstein. This result is a famous example of a characterization theorem. In general, characterization problems in mathematical statistics are statements in which the description of possible distributions of random variables follows from properties of some functions in these variables.In recent years, a great deal of attention has been focused upon generalizing the classical characterization theorems to random variables with values in various algebraic structures such as locally compact Abelian groups, Lie groups, quantum groups, or symmetric spaces. The present book is aimed at the generalization of some well-known characterization theorems to the case of independent random variables taking values in a locally compact Abelian group X. The main attention is paid to the characterization of the Gaussian and the idempotent distribution (group analogs of the Kac–Bernstein, Skitovich–Darmois, and Heyde theorems). The solution of the corresponding problems is reduced to the solution of some functional equations in the class of continuous positive definite functions defined on the character group of X. Group analogs of the Cramér and Marcinkiewicz theorems are also studied. The author is an expert in algebraic probability theory. His comprehensive and self-contained monograph is addressed to mathematicians working in probability theory on algebraic structures, abstract harmonic analysis, and functional equations.
Читацька аудиторія:The book concludes with comments and unsolved problems that provide further stimulation for future research in the theory.