Ukrainian
Summary:Монографію присвячено дослідженню проблем часткової асимптотичної стійкості і керованості для моделей гнучких структур, що описуються системами зв’язаних нелінійних звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь з частинними похідними, або рівняннями в абстрактних просторах. У вступній частині викладено необхідні основні результати з теорії неперервних напівгруп операторів у банахових просторах. Проблему часткової асимптотичної стійкості по відношенню до неперервного функціоналу потім розглянуто для класу абстрактних багатозначних систем у метричному просторі. Далі результати цього дослідження застосовано до вивчення динаміки обертового твердого тіла з пружними елементами. Показано, що стан рівноваги не є сильно асимптотично стабілізовним у загальному випадку, що обґрунтовує вивчення проблеми часткової стабілізації по відношенню до функціоналу, який описує «усереднені» коливання. У центральній частині книги проведено аналіз ефекту переливання енергії для нескінченновимірних систем зі скінченновимірним керуванням. Встановлено, що сімейство L2-мінімальних керувань, що відповідає низькочастотним модам, може бути використано для побудови наближених розв’язків задачі керування повною системою. У книзі на основі вивчення абстрактного класу систем розглянуто також конкретні фізичні приклади. Теорія балок Тимошенка застосовується для дослідження математичної моделі маніпулятора з гнучкою ланкою. Також розглянуто механічну систему, що складається з твердого тіла та пластини Кирхгофа. Встановлено, що така система не є керованою у загальному випадку. Запропоновано достатні умови наближеної керованості динамікою на інваріантному многовиді.
Russian
Summary:Монография посвящена исследованию задач частичной асимптотической устойчивости и управляемости для моделей гибких структур, описываемых системами связанных нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также уравнениями в абстрактных пространствах. Во вступительной части изложены необходимые основные результаты по теории непрерывных полугрупп операторов в банаховых пространствах. Проблема частичной асимптотической устойчивости по отношению к непрерывному функционалу затем рассмотрена для класса абстрактных многозначных систем в метрическом пространстве. Далее результаты этого исследования применены к изучению динамики вращающегося твердого тела с упругими элементами. Показано, что состояние равновесия не является сильно асимптотически стабилизируемым в общем случае, что обосновывает изучения проблемы частичной стабилизации по отношению к функционалу, который описывает «усредненные» колебания. В центральной части книги проведен анализ эффекта переливания энергии для бесконечномерных систем с конечномерных управлением. Установлено, что семейство L2-минимальных управлений, которое соответствует низкочастотным модам, может быть использовано для построения приближенных решений задачи управления полной системой. В книге на основе изучения абстрактного класса систем рассмотрены также конкретные физические примеры. Теория балок Тимошенко применяется для исследования математической модели манипулятора с гибким звеном. Также рассмотрена механическая система, состоящая из твердого тела и пластины Кирхгофа. Установлено, что такая система не является управляемой в общем случае. Предложены достаточные условия приближенной управляемости динамикой на инвариантном многообразии.
English
Summary:This monograph provides a rigorous treatment of problems related to partial asymptotic stability and controllability for models of flexible structures described by coupled nonlinear ordinary and partial differential equations or equations in abstract spaces. The text is self-contained, beginning with some basic results from the theory of continuous semigroups of operators in Banach spaces. The problem of partial asymptotic stability with respect to a continuous functional is then considered for a class of abstract multivalued systems on a metric space. Next, the results of this study are applied to the study of a rotating body with elastic attachments. It is shown that the equilibrium cannot be made strongly asymptotically stable in the general case, motivating consideration of the problem of partial stabilization with respect to the functional that represents «averaged» oscillations. The book’s focus moves on to spillover analysis for infinite-dimensional systems with finite-dimensional controls. It is shown that a family of L2-minimal controls, corresponding to low frequencies, can be used to obtain approximate solutions of the steering problem for the complete system. The book turns from the examination of an abstract class of systems to particular physical examples. Timoshenko beam theory is exploited in studying a mathematical model of a flexible-link manipulator. Finally, a mechanical system consisting of a rigid body with the Kirchhoff plate is considered. Having established that such a system is not controllable in general, sufficient controllability conditions are proposed for the dynamics on an invariant manifold.